Introducción
El Cálculo constituye una de las grandes
conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la
matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la
trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de
cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la
evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar
atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona
a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través
de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva
teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para
el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El
Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de
dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con
los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo
XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría
construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días. Sus aplicaciones son
difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma,
ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático
interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.
Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo, o más bien dicho,
coinventores, pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos
siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales
de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la
precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su
desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de
visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y
Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos
hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de
Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo
inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles,
Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva
científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las
contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada
independientemente por Descartes y Fermat. Sin la contribución de éstos y de
muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no
existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que
vivió la Europa del siglo XVII. Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia
empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad.
El Cálculo Infinitesimal es la rama
de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones del Cálculo
Diferencial e Integral. El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y
aceleraciones. Cálculo es también la matemática de rectas tangentes,
pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y
otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros y
economistas puedan modelar situaciones de la vida real. El cálculo es
fundamentalmente diferente de las matemáticas que hayas estudiado con
anterioridad. Aunque las matemáticas previas al cálculo también versan sobre
velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, etc., aquí se tiene una
diferencia fundamental entre las matemáticas previas y el propio cálculo: las
matemáticas previas al cálculo son más estáticas, en tanto que el cálculo es
más dinámico. El cálculo se interesa en el cambio y en el movimiento; trata de
cantidades que se aproximan a otras cantidades.
El Cálculo Diferencial se origina en
el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar
la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a
otro; la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la
distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.
El siglo XIX
Un problema importante fue definir el
significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés
Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien
propuso su definición en los términos actuales. En 1821, un matemático francés,
Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar
una definición precisa de "función continua". Basó su visión del
cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Esta solución
planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la
definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino
el matemático alemán Dedekind quien encontró una definición adecuada para los
números reales. Los matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass también dieron
otras definiciones casi al mismo tiempo. Además de fortalecer los fundamentos
del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, se
llevaron a cabo importantes avances en esta materia. Gauss, uno de los más
importantes matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del
concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo
del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el
matemático alemán Riemann. Otro importante avance fue el estudio de las sumas
infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, herramientas muy útiles
tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, hecho por Fourier. Cantor
estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos. La
teoría de Cantor fue considerada demasiado abstracta y criticada. Encontramos
aquí un espíritu crítico en la elaboración de estas nociones tan ricas. Esto
constituye un punto de vista muy diferente del que animaba a los matemáticos
del siglo anterior. Ya no se trata de construir expresiones ni forjar nuevos
métodos de cálculo, sino de analizar conceptos considerados hasta entonces
intuitivos.
FILOSOFOS
PRINCIPALES:
En 1666 Sir Isaac Newton (1642-1727), fue el
primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta
índole. Inventó su propia versión del cálculo para explicar el movimiento de
los planetas alrededor del Sol. Newton concibió el llamado Método de las
Fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye;
denomina “momentum” de la cantidad de fluente al arco mucho muy corto, recorrido
en un tiempo excesivamente pequeño, llamando la “razón del momentum” al tiempo
correspondiente es decir, la velocidad. Por lo tanto, fluente es la cantidad
variable que se identifica como función; fluxión es la velocidad o rapidez de
variación de la fluente que se identifica como la derivada; al incremento
infinitesimal o instantáneo de la fluente se llama momento que se identifica
como la diferencial. El principio establece que: “los momentos de las funciones
son entre sí como sus derivadas”.
Casi al mismo tiempo, el filósofo y
matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716), realizó
investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta
nuestros días. La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de las
tangentes y su inverso, basándose en el Triángulo Característico de Barrow,
observando que dicho triángulo al que se forma con la tangente, la subtangente
y la ordenada del punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado
por la Normal, la Subnormal y la ordenada del mismo punto. Los símbolos dx dy
dx, , la palabra “derivada” y el nombre de “ecuaciones diferenciales” se deben
a Leibniz.
